Bài 3. KHẢO SÁT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

     TÓM TẮT GIÁO KHOA

Lân cận của điểm x₀

           Ta gọi lân cận của một điểm x₀, ký hiệu: V(x₀), là tập hợp định bởi:

           Đôi khi còn gọi rõ hơn là “lân cận tâm x₀ bán kính 

·   Cực đại

Hàm f được gọi là đạt cực đại tại x₀ nếu trong một lân cận nào đó của x₀ ta có:

Lúc đó f(x₀) được gọi là] giá trị cực đại của f; ký hiệu f_max.

Điểm (x₀, f(x₀)) được gọi là điểm cực đại.

·    Cực tiểu

Hàm f được gọi là đạt cực tiểu tại x₀ nếu trong một lân cận nào đó của x₀ ta có

Lúc đó f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của f; ký hiệu f_min.

Điểm (x₀, f(x₀)) được gọi là điểm cực tiểu. 

     Điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu x₀ được gọi chung là cực điểm hay điểm cực trị, giá trị cực đại hay giá trị cực      tiểu được gọi chung giá trị là cực trị.

*   Chú ý rằng: Khái niệm cực đại hoặc cực tiểu hoàn toàn có tính chất cục bộ, nghĩa là nếu f đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x₀ trên (a, b) thì giá trị f(x₀) chưa hẳn là giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trên (a, b).Nó chỉ là lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một lân cận nào đó của x₀ mà thôi.

*  Để khảo sát điểm cực đại hoặc cực tiểu của một hàm f ta dựa vào định lý:

   - Điều kiện cần:   

         Nếu f khả vi và đạt cực trị tại x₀ thì f ’(x₀) = 0

   - Điều kiện đủ:

    (1)  Nếu f khả vi trong một lân cận của x₀ (không nhất thiết khả vi tại x₀) và nếu khi đi qua x₀ mà f ’(x) đổi dấu từ + sang - (hoặc từ - sang +) thì hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x₀.

Trong trường hợp f khả vi tại x₀, có thể tóm tắt bằng bảng sau:

     (2)  Nếu f có đạo hàm cấp hai f ’’(x) liên tục tại x₀ mà f ’(x₀) = 0 và nếu

-   f ’’(x₀) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x₀.

    -   f ’’(x₀) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x₀.

   *   Chú ý: Có hai điều kiện đủ hàm số f đạt cực trị: điều kiện đủ thứ nhất (1) liên quan đến f ’ và điều kiện đủ thứ hai (2) liên quan đến f ’’.